Uwaga: prawdą jest, że każdy ograniczony ciąg zawiera zbieżny podciąg, a ponadto, każdy ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony. Dodano Więcej informacji na temat gwarantowanej zbieżności ograniczonych ciągów monotonicznych można znaleźć we wpisie dotyczącym twierdzenia o zbieżności monotonicznej.
Czy każdy ograniczony ciąg jest zbieżny w R?
Twierdzenie mówi, że każda ograniczona sekwencja w R ma zbieżny podciąg. Równoważnym sformułowaniem jest to, że podzbiór R jest sekwencyjnie kompaktowany wtedy i tylko wtedy, gdy jest zamknięty i ograniczony. Twierdzenie to jest czasami nazywane twierdzeniem o zwartości sekwencyjnej.
Czy każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny?
Odpowiedź i wyjaśnienie: (a) Czy każdy ograniczony ciąg jest zbieżny? Nie.
Czy każdy ograniczony ciąg monotoniczny jest zbieżny?
Nie wszystkie sekwencje ograniczone, takie jak (−1)n, zbieżność, ale gdybyśmy wiedzieli, że sekwencja ograniczona jest monotoniczna, to by się to zmieniło. jeśli ≥ an+1 dla wszystkich n ∈ N. Sekwencja jest monotoniczna, jeśli jest rosnąca lub malejąca. i ograniczony, a następnie zbiega się.
Czy wszystkie sekwencje ograniczone mają zbieżny podciąg?
Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa: Każdy ograniczony ciąg w Rn ma zbieżny podciąg. z {xmk } jest ograniczonym ciągiem liczb rzeczywistych, więc również ma zbieżny podciąg… I odwrotnie, każdy ograniczony ciąg jestzbiór zamknięty i ograniczony, więc ma zbieżny podciąg.
