Odizolowany punkt jest zamknięty (brak limitu punktów do umieszczenia). Skończony związek zbiorów zamkniętych jest zamknięty. Stąd każdy skończony zbiór jest zamknięty. (vi) Otwarty zbiór, który zawiera każdą liczbę wymierną, musi koniecznie składać się z R.
Czy zamknięte zbiory mogą mieć wydzielone punkty?
Czy zamknięty zestaw może mieć taki zestaw? Zbiór otwarty U nie może mieć punktu izolowanego, ponieważ jeśli x ∈ U i δ > 0 to (x − δ, x + δ) zawiera przedział, a zatem zawiera nieskończenie wiele punktów U. Z drugiej strony, dla dowolny x, {x} jest zbiorem domkniętym, który ma izolowany punkt, czyli sam x.
Czy pojedyncze punkty są zamknięte?
I w dowolnej przestrzeni metrycznej, zbiór składający się z jednego punktu jest zamknięty, ponieważ nie ma punktów granicznych takiego zbioru!
Czy pojedyncze punkty ograniczają punkty?
Punkt p jest punktem granicznym S, jeśli każde otoczenie p zawiera punkt q ∈ S, gdzie q=p. Jeżeli p ∈ S nie jest punktem granicznym S, wtedy jest nazywany punktem izolowanym S. S jest zamknięte, jeśli każdy punkt graniczny S jest punktem S.
Czy punkt izolowany jest ciągły?
Funkcja jest ciągła w każdym izolowanym punkcie.
