W matematyce grupa abelowa, zwana także grupą przemienną, to grupa, w której wynik zastosowania operacji grupowej do dwóch elementów grupy nie zależy od kolejności w którym są napisane.
Czym są grupy abelowe i nieabelowe?
Definicja 0.3: Grupa abelowa Jeśli grupa ma właściwość ab=ba dla każdej pary elementów aib, mówimy, że grupa jest abelowa. Grupa nie jest abelowa, jeśli istnieje para elementów a i b, dla których ab=ba.
Jak rozpoznać grupę abelową?
Sposoby, aby pokazać, że grupa jest abelowa
- Pokaż komutator [x, y]=xyx−1y−1 [x, y]=x y x − 1 y − 1 z dwóch dowolnych elementów x, y∈G x, y ∈ G musi być identycznością.
- Pokaż, że grupa jest izomorficzna z bezpośrednim iloczynem dwóch (pod)grup abelowych.
Jaka jest różnica między grupą a grupą abelową?
Grupa to kategoria z jednym obiektem i wszystkie morfizmy odwracalne; grupa abelowa jest kategorią monoidalną z pojedynczym obiektem i wszystkimi morfizmami odwracalnymi.
Która grupa jest zawsze abelowa?
Tak, wszystkie grupy cykliczne są abelowe. Oto trochę więcej szczegółów, które pomogą wyjaśnić „dlaczego” wszystkie grupy cykliczne są abelowe (tj. przemienne). Niech G będzie grupą cykliczną, a g będzie generatorem G.
