Pochodne częściowe i ciągłość. Jeżeli funkcja f: R → R jest różniczkowalna, to f jest ciągłe. pochodne cząstkowe funkcji f: R2 → R. f: R2 → R takie, że fx(x0, y0) i fy(x0, y0) istnieją, ale f nie jest ciągła w (x0, y0).
Skąd wiesz, czy pochodna cząstkowa jest ciągła?
Niech (a, b)∈R2. Wtedy wiem, że istnieją pochodne cząstkowe i fx(a,b)=2a+b oraz fy(a,b)=a+2b. Aby przetestować ciągłość, lim(x, y)→(a, b)fx(x, y)=lim(x, y)→(a, b)2x+y=2a+b=fx(a, b).
Co to są ciągłe pochodne cząstkowe?
1.1.
V (x)=(x 1 + x 2) 2 Dla wszystkich składowych wektora x istnieje ciągła pochodna cząstkowa V(x); gdy x=0, V(0)=0, ale nie dla żadnego x ≠ 0, mamy V(x) > 0, na przykład, gdy x1=−x 2, mamy V(x)=0, więc V(x) nie jest funkcją dodatnio określoną i jest funkcją półdodatnią określoną.
Czy częściowa różniczkowalność implikuje ciągłość?
Jedna linia podstawowa: istnienie pochodnych cząstkowych jest dość słabym warunkiem ponieważ nie gwarantuje nawet ciągłości! Różniczkowalność (istnienie dobrego przybliżenia liniowego) jest znacznie silniejszym warunkiem.
Czy różniczkowalność implikuje istnienie pochodnych cząstkowych?
Twierdzenie o różniczkowalności mówi, że pochodne cząstkowe ciągłe są wystarczające, aby funkcja była różniczkowalna. …Odwrotność twierdzenia o różniczkowalności nie jest prawdziwa. Funkcja różniczkowalna może mieć nieciągłe pochodne cząstkowe.
