Pierwsze twierdzenie, które Pugh dowodzi, kiedy definiuje całkę Riemanna, jest takie, że całkowalność implikuje ograniczenie. To jest Twierdzenie 15 na stronie 155 w moim wydaniu. To pokazuje, że najpierw należy uzgodnić definicje.
Czy całkowalność Riemanna oznacza ograniczenie?
Twierdzenie 4. Każda całkowalna funkcja Riemanna jest ograniczona.
Czy funkcje nieograniczone są integrowalne?
Funkcja nieograniczona nie jest całkowalna. W dalszej części, „całkowalny” będzie oznaczał „całkowalny Riemanna, a „całkowy” będzie oznaczał „całkowy Riemanna”, chyba że wyraźnie zaznaczono inaczej. f(x)={ 1/x jeśli 0 < x ≤ 1, 0 jeśli x=0. więc górne sumy Riemanna f nie są dobrze zdefiniowane.
Czy funkcja całkowalna Lebesgue'a jest ograniczona?
Funkcje mierzalne, które są ograniczone są równoważne funkcjom całkowalnym Lebesgue'a. Jeśli f jest funkcją ograniczoną zdefiniowaną na mierzalnym zbiorze E o skończonej mierze. Wtedy f jest mierzalne wtedy i tylko wtedy, gdy f jest całkowalna Lebesgue'a. … Z drugiej strony funkcje mierzalne są „prawie” ciągłe.
Skąd wiadomo, czy funkcja jest całkowalna z Lebesgue'em?
Jeżeli f, g są funkcjami takimi, że f=g prawie wszędzie, wtedy f jest całkowalna z Lebesgue'em wtedy i tylko wtedy, gdy g jest całkowalna z Lebesgue'em, a całki z f i g są tak samo, jeśli istnieją.