Ogólnie rzecz biorąc, iloczyn dwóch podgrup S i T jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy ST=TS i mówi się, że dwie podgrupy są permutowane.
Co sprawia, że podgrupa jest podgrupą?
Podzbiór H grupy G jest podgrupą G jeżeli i tylko wtedy, gdy jest niepusty i zamknięty pod produktami i odwrotnościami . … Tożsamość podgrupy to tożsamość grupy: jeśli G jest grupą o tożsamości eG, a H jest podgrupą G o tożsamości eH, potem eH=eG.
Dlaczego przecięcie dwóch podgrup jest podgrupą?
Ponieważ przynajmniej element tożsamości 'e' jest wspólny dla H1 i H2. Ponieważ H1 i H2 są podgrupami. Stąd H1 ∩ H2 jest podgrupą G i to jest nasze twierdzenie, tj. Przecięcie dwóch podgrup grupy jest ponownie podgrupą.
Czy iloczyn dwóch normalnych podgrup jest normalny?
Iloczyn podzbioru normalnych podgrup jest normalny.
Czy połączenie dwóch podgrup jest podgrupą, jeśli nie podaje przykładu?
Jeśli grupa G jest połączeniem dwóch właściwych podgrup H1 i H2, to musimy mieć H1⊄H2 i H2⊄H1, w przeciwnym razie G=H1 lub G=H2 i jest to niemożliwe, ponieważ H1, H2 są właściwe podgrupy. Wtedy G=H1∪H2 jest podgrupą G, która jest zabroniona przez część (a). Zatem żadna grupa nie może być związkiem odpowiednich podgrup.
