Ogólnie rzecz biorąc, zbieżność punktowa nie implikuje zbieżności miary. Jednak dla przestrzeni miary skończonej jest to prawdą i faktycznie zobaczymy w tej sekcji, że o wiele więcej jest prawdą.
Czy zbieżność prawie wszędzie implikuje zbieżność miarową?
Rozważana przestrzeń miary jest zawsze skończona, ponieważ miary prawdopodobieństwa przypisują prawdopodobieństwo 1 do całej przestrzeni. W przestrzeni miary skończonej prawie wszędzie zbieżność implikuje zbieżność miary. Dlatego prawie zbieżność implikuje zbieżność w prawdopodobieństwo.
Czy zbieżność punktowa oznacza ciągłość?
Chociaż każda fn jest ciągła na [0, 1], ich granica punktowa f nie jest (jest nieciągła przy 1). Zatem zbieżność punktowa na ogół nie zachowuje ciągłości.
Czy zbieżność w warstwie L1 implikuje zbieżność punktową?
Więc punktowa zbieżność, jednostajna zbieżność i L1 zbieżność nie implikują się wzajemnie. Mamy jednak kilka pozytywnych wyników: Twierdzenie 7 Jeśli fn → f w L1, to istnieje podciąg fnk taki, że fnk → f punktowo a.e.
Co to jest zbieżność w teorii miary?
W matematyce, a dokładniej w teorii miary, istnieją różne pojęcia zbieżności miar. Aby uzyskać ogólne intuicyjne znaczenie tego, co rozumie się przez zbieżność miary, rozważ sekwencję miar μ w przestrzeni, współdzielenie wspólnej kolekcjimierzalnych zestawów.