W matematyce podzbiór przestrzeni topologicznej jest nazywany nigdzie gęstym lub rzadkim, jeśli jego zamknięcie ma puste wnętrze. W bardzo luźnym sensie jest to zestaw, którego elementy nie są nigdzie ciasno skupione. Na przykład liczby całkowite nigdzie nie są gęste wśród liczb rzeczywistych, podczas gdy otwarta kula nie jest.
Czy 1 N nigdzie nie jest gęste?
Przykładem zbioru, który nie jest zamknięty, ale wciąż nigdzie nie jest gęsty, jest {1n|
∈N}. Ma jeden punkt graniczny, którego nie ma w zbiorze (mianowicie 0), ale jego zamknięcie nadal nie jest gęste, ponieważ żadne otwarte przedziały nie mieszczą się w {1n|n∈N}∪{0}.
Jak udowodnić, że zestaw nie jest nigdzie gęsty?
A podzbiór A ⊆ X jest nazywany nigdzie gęstym w X, jeśli wnętrze domknięcia A jest puste, tj. (A)◦=∅. Inaczej mówiąc, A nie jest nigdzie gęste, jeśli jest zawarte w zamkniętym zbiorze z pustym wnętrzem. Przechodząc do uzupełnień, możemy równoważnie powiedzieć, że A nie jest nigdzie gęste, jeśli jego uzupełnienie zawiera gęsty zbiór otwarty (dlaczego?).
Co oznacza wszędzie gęste?
Podzbiór A przestrzeni topologicznej X jest gęsty, dla którego zamknięciem jest cała przestrzeń X (niektórzy autorzy używają terminologii wszędzie gęsto). Powszechną definicją alternatywną jest: zbiór A, który przecina każdy niepusty otwarty podzbiór X.
Czy każdy gęsty zestaw jest otwarty?
Przestrzeń topologiczna X jest hiperpołączona wtedy i tylko wtedy, gdy każdy niepusty zbiór open jest gęsty w X. Przestrzeń topologiczna jest submaksymalna wtedy i tylko wtedy, gdykażdy gęsty podzbiór jest otwarty.
