Kompletność przestrzeni metrycznej nie jest zachowywana przez homeomorfizm.
Co zachowuje homeomorfizm?
Homeomorfizm, zwany także transformacją ciągłą, to relacja równoważności i korespondencja jeden do jednego między punktami w dwóch figurach geometrycznych lub przestrzeniach topologicznych, która jest ciągła w obu kierunkach. Homeomorfizm, który również zachowuje odległości nazywa się izometrią.
Czy homeomorfizm zachowuje zwartość?
3.3 Właściwości przestrzeni zwartych
Wcześniej zauważyliśmy, że zwartość jest topologiczną własnością przestrzeni, to znaczy jest zachowywana przez homeomorfizm. Co więcej, jest zachowywany przez dowolną funkcję ciągłą.
Czy kompletność jest właściwością topologiczną?
Kompletność nie jest właściwością topologiczną, tzn. nie można wywnioskować, czy przestrzeń metryczna jest kompletna, patrząc tylko na leżącą pod nią przestrzeń topologiczną.
Dlaczego ograniczenie nie jest właściwością topologiczną?
Dla przestrzeni metrycznych mamy pojęcie o ograniczoności: to znaczy, że przestrzeń metryczna jest ograniczona, jeśli istnieje pewna liczba rzeczywista M taka, że d(x, y) ≤ M dla wszystkich x, y. Ograniczenie nie jest właściwością topologiczną. Na przykład (0, 1) i (1, ∞) są homeomorficzne, ale jeden jest ograniczony, a drugi nie. ∞ n=1 jest ciągiem punktów w X.
