Niech P będzie podgrupą p Sylowa z G. … Jeśli G jest proste, to ma 10 podgrup rzędu 3 i 6 podgrup rzędu 5. Jednak ponieważ te grupy są wszystkie cykliczne porządku pierwszego, każdy nietrywialny element G jest zawarty co najwyżej w jednej z tych grup.
Czy grupy P są cykliczne?
Grupa trywialna jest jedyną grupą rzędu pierwszego, a grupa cykliczna C p jest jedyną grupą rzędu p.
Czy podgrupy są cykliczne?
Twierdzenie: Wszystkie podgrupy grupy cyklicznej są cykliczne. Jeżeli G=⟨a⟩ jest cykliczne, to dla każdego dzielnika d |G| istnieje dokładnie jedna podgrupa rzędu d, która może być wygenerowana przez a|G|/d a | G | / d. Dowód: Niech |G|=dn | G |=d n.
Czy podgrupy P Sylowa są normalne?
Jeżeli G ma dokładnie jedną podgrupę p Sylowa, musi być normalna z unikalnej podgrupy danego zamówienia jest Normal. Załóżmy, że podgrupa p Sylowa P jest normalna. Wtedy równa się jego koniugatom. Tak więc, według trzeciego twierdzenia Sylowa, może istnieć tylko jedna taka podgrupa p Sylowa.
Czy podgrupy P sylowa są abelowe?
Udowadniamy, że p-podgrupy Sylowa skończonej grupy G są abelian wtedy i tylko wtedy, gdy wielkości klas p-elementów G są względnie pierwsze do p, i, jeśli p ∈ { 3, 5 }, stopień każdego nieredukowalnego znaku w głównym bloku p G jest względnie pierwszy do p.
