Ogólnie rzecz biorąc, dla każdej macierzy wektory własne NIE zawsze są ortogonalne. Ale w przypadku specjalnego typu macierzy, macierzy symetrycznej, wartości własne są zawsze rzeczywiste, a odpowiadające im wektory własne są zawsze ortogonalne.
Czy wektory własne wartości własnych są zawsze ortogonalne?
Niekoniecznie wszystkie prostopadłe. Jednak dwa wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne. np. Niech X1 i X2 będą dwoma wektorami własnymi macierzy A odpowiadającej wartościom własnym λ1 i λ2 gdzie λ1≠λ2.
Czy wszystkie macierze symetryczne mają ortogonalne wektory własne?
Jeżeli wszystkie wartości własne symetrycznej macierzy A są różne, macierz X, która ma w swoich kolumnach odpowiadające wektory własne, ma tę właściwość, że X X=I, tj. X to macierz ortogonalna.
Czy niesymetryczna macierz może mieć ortogonalne wektory własne?
W przeciwieństwie do problemu symetryczności, wartości własne a niesymetrycznej macierzy nie tworzą układu ortogonalnego. … Wreszcie trzecie rozróżnienie polega na tym, że wartości własne macierzy niesymetrycznej mogą być złożone (podobnie jak odpowiadające im wektory własne).
Czy wektory własne są liniowo niezależne?
Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne. W konsekwencji, jeśli wszystkie wartości własne macierzy są różne, to odpowiadające im wektory własne obejmują przestrzeń wektorów kolumnowych, do którychkolumny macierzy należą.
